Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} + 64}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 64$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.9

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.9.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.9.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.1.1.9.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 8$ und $g (x) = x - 8$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.4.2

Mutltipliziere $x + 8$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1.2.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.8.2

Mutltipliziere $x - 8$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.1.2.4.8.4.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.4.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.9.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.2

Multipliziere $(- 2 x - 16) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.9.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.9.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.9.2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.9.2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.3.2

Subtrahiere $16 x$ von $16 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.3.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.9.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.9.2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.2.3

Addiere $0$ und $128 x$ .

$\frac{128 x}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.9.3.1

Faktorisiere $x$ aus $128 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Schritt 2.1.2.9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.9.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.1.2.9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{128}{x^{3}}$ .

$\frac{128}{x^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{128}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{128}{x^{3}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$128 = 0$

Schritt 2.2.3

Da $128 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 64}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{- 8}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $128$ durch $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 16$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$- 16$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 0)$ konkav, weil $f'' (- 2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{128}{{(2)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{128}{8}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $128$ durch $8$ .

$f'' (2) = 16$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8