Analysis Beispiele

$3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.1.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 (- \sin (x))$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 \cos^{2} (x) - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Schritt 2.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.2

Ersetze die $- 6 \cos^{2} (x)$ durch $- 6 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$- 6 (1 - \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 \cdot 1 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$- 6 + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.4

Addiere $6 \sin^{2} (x)$ und $6 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 + 12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2.5

Stelle das Polynom um.

$12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) - 6 = 0$

Schritt 2.2.6

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$12 {(u)}^{2} + 6 (u) - 6 = 0$

Schritt 2.2.7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $6$ aus $12 u^{2} + 6 u - 6$ heraus.

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Schritt 2.2.7.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 u^{2}$ heraus.

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Schritt 2.2.7.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 u$ heraus.

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Schritt 2.2.7.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$6 (2 u^{2}) + 6 u + 6 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.7.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 u^{2}) + 6 u$ heraus.

$6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.7.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1)$ heraus.

$6 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Schritt 2.2.7.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.7.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.7.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.2.7.2.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$6 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Schritt 2.2.7.2.1.1.2

Schreibe $1$ um als $- 1$ plus $2$

$6 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Schritt 2.2.7.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.2.7.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.7.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Schritt 2.2.7.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$6 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Schritt 2.2.7.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$6 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.2.7.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Schritt 2.2.8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 2.2.9

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.2.9.1

Setze $2 u - 1$ gleich $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Schritt 2.2.9.2

Löse $2 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.2.9.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u = 1$

Schritt 2.2.9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 u = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.9.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.10

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.2.10.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 2.2.10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 2.2.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 2.2.12

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Schritt 2.2.13

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Schritt 2.2.14

Löse in $\sin (x) = \frac{1}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.14.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 2.2.14.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.14.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 2.2.14.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 2.2.14.4

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 2.2.14.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.2.14.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.14.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 2.2.14.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 2.2.14.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.14.4.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 2.2.14.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 2.2.14.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.2.14.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.14.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.14.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.14.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.14.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.15

Löse in $\sin (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.15.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 2.2.15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.15.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.15.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.2.15.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.2.15.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.2.15.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2.15.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.2.15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.2.15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.2.15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.2.15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.2.15.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.2.15.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 2.2.15.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.15.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.15.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.2.15.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.2.15.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.15.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.2.15.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2.15.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.2.15.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.16

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.2.17

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cos^{2} (0) + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (0) = - 6 \cdot 1 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0 + 6 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \sin (0)$

Schritt 5.2.1.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \cdot 0$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 0$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 6$ und $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 6$ und $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, \infty)$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6