Analysis Beispiele

$6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 1

Schreibe $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ als Funktion.

$f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.1.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$6 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Schritt 2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Schritt 2.1.1.3.3

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Schritt 2.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$f' (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ und $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.4

Potenziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$6 (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ({\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.6

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.6.1

Addiere $2$ und $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.6.4

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.6.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.6.5.2

Mutltipliziere $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Schritt 2.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.7.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.8

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.9

Potenziere $\tan (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1} (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{π}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Schritt 2.1.2.14

Da $- \frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))$

Schritt 2.1.2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)$

Schritt 2.1.2.15.2

Mutltipliziere $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Schritt 2.1.2.16

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 6 (\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Schritt 2.1.2.16.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.2

Ersetze die $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ durch $\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $\sec (x - \frac{π}{2})$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ mit $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Potenziere $\sec (x - \frac{π}{2})$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3.3

Schreibe $- 1 \sec (x - \frac{π}{2})$ als $- \sec (x - \frac{π}{2})$ um.

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.4

Addiere $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ und $6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$7 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

Schritt 2.2.5

Ersetze $\sec (x - \frac{π}{2})$ durch $u$ .

$7 {(u)}^{3} - (u) = 0$

Schritt 2.2.6

Faktorisiere $u$ aus $7 u^{3} - u$ heraus.

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $u$ aus $7 u^{3}$ heraus.

$u (7 u^{2}) - u = 0$

Schritt 2.2.6.2

Faktorisiere $u$ aus $- u$ heraus.

$u (7 u^{2}) + u \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.6.3

Faktorisiere $u$ aus $u (7 u^{2}) + u \cdot - 1$ heraus.

$u (7 u^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.2.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$7 u^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.2.8

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 2.2.9

Setze $7 u^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.2.9.1

Setze $7 u^{2} - 1$ gleich $0$ .

$7 u^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.2.9.2

Löse $7 u^{2} - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.2.9.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 u^{2} = 1$

Schritt 2.2.9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 u^{2} = 1$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 u^{2} = 1$ durch $7$ .

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 2.2.9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Schritt 2.2.9.2.2.2.1.2

Dividiere $u^{2}$ durch $1$ .

$u^{2} = \frac{1}{7}$

Schritt 2.2.9.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt{\frac{1}{7}}$

Schritt 2.2.9.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 2.2.9.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{7}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ um.

$u = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Schritt 2.2.9.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

Schritt 2.2.9.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.9.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 2.2.9.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.9.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Schritt 2.2.9.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.2.9.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.9.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.2.9.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.2.9.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.2.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (7 u^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.2.11

Ersetze $u$ durch $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.2.12

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Schritt 2.2.13

Löse in $\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.13.1

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2.2.14

Löse in $\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.14.1

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $\frac{\sqrt{7}}{7}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2.2.15

Löse in $\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.15.1

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\sec (x - \frac{π}{2})$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = π n + \frac{π + π}{2}$

Schritt 3.2.3

Addiere $π$ und $π$ .

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π n + π$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq π n + π}$ , für jede Ganzzahl $n$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq π n + π}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall ${x | x \neq π n + π}$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $N a N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} ((N a N) - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $N$ mit $N$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N \cdot N a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $N$ mit $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $N$ mit $N$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.2.1

Bewege $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N \cdot N a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $N$ mit $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $N$ mit $N$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.3.1

Bewege $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N \cdot N a - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $N$ mit $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall ${x | x \neq π n + π}$ konvex, weil $f'' (N a N)$ positiv ist.

Konvex im Intervall ${x | x \neq π n + π}$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5