Analysis Beispiele

$y = 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 9$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 9$ .

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Schritt 1.1

Setze $9$ für $x$ ein.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Multipliziere $9$ mit ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Mutltipliziere $9$ mit ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1.1

Potenziere $9$ mit $1$ .

$y = 9^{1} {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 9^{1 + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 9^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 9^{\frac{2 + 1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$y = 9^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3^{3} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = 27 + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = 27 + {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.4.1.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.4.1.8.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 27 + 3^{3}$

Schritt 1.2.4.1.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = 27 + 27$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $27$ und $27$ .

$y = 54$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = 54$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $9$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 2.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.5

Bestimme die Ableitung bei $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.6.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{1 + 1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3^{2}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.6.1.3

Bringe ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.6.1.4

Multipliziere $9$ mit $9^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $9^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.6.1.4.1.1

Potenziere $9$ mit $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.6.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.6.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Schritt 2.6.1.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.6.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{9}{2} + \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 2.6.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 2.6.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

Schritt 2.6.1.5.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{9}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 + 3}{2}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.2.2.1

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12}{2}$

Schritt 2.6.2.2.2

Dividiere $12$ durch $2$ .

$6$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $6$ und einen gegebenen Punkt $(9, 54)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (54) = 6 \cdot (x - (9))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $6 \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 54 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 9)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 54 = 6 x + 6 \cdot - 9$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$y - 54 = 6 x - 54$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $54$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6 x - 54 + 54$

Schritt 3.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x - 54 + 54$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Addiere $- 54$ und $54$ .

$y = 6 x + 0$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$y = 6 x$

Schritt 4