Analysis Beispiele

$y = x (16 x^{- 2} + 2)$ ; $x = - 2$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $- 2$ für $x$ ein.

$y = (- 2) (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $16 {(- 2)}^{- 2} + 2$ .

$y = - 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $- 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = - 2 (16 \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 2)$

Schritt 1.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = - 2 (16 (\frac{1}{4}) + 2)$

Schritt 1.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = - 2 (4 (4) \frac{1}{4} + 2)$

Schritt 1.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 2 (4 \cdot 4 \frac{1}{4} + 2)$

Schritt 1.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - 2 (4 + 2)$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.2.1

Addiere $4$ und $2$ .

$y = - 2 \cdot 6$

Schritt 1.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$y = - 12$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = - 12$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 16 x^{- 2} + 2$ .

$x \frac{d}{d x} [16 x^{- 2} + 2] + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{- 2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x (\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$x (16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$x (16 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$x (- 32 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (- 32 x^{- 3} + 0) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.6

Addiere $- 32 x^{- 3}$ und $0$ .

$x (- 32 x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 32 (x^{1} x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 32 x^{1 - 3} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \cdot 1$

Schritt 2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $16 x^{- 2} + 2$ mit $1$ .

$- 32 x^{- 2} + 16 x^{- 2} + 2$

Schritt 2.7.2

Addiere $- 32 x^{- 2}$ und $16 x^{- 2}$ .

$- 16 x^{- 2} + 2$

Schritt 2.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{2}} + 2$

Schritt 2.7.3.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} + 2$

Schritt 2.7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{x^{2}} + 2$

Schritt 2.8

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$- \frac{16}{{(- 2)}^{2}} + 2$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{16}{4} + 2$

Schritt 2.9.1.2

Dividiere $16$ durch $4$ .

$- 1 \cdot 4 + 2$

Schritt 2.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 + 2$

Schritt 2.9.2

Addiere $- 4$ und $2$ .

$- 2$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 2$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, - 12)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 12) = - 2 \cdot (x - (- 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 2 \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y + 12 = 0 + 0 - 2 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 12 = - 2 x - 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y + 12 = - 2 x - 4$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 x - 4 - 12$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $12$ von $- 4$ .

$y = - 2 x - 16$

Schritt 4