Analysis Beispiele

$\sin (3 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{3})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = \frac{π}{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (3 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 y$ .

$\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y]$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (3 y) (3 y')$

Schritt 1.2.4

Stelle die Faktoren von $\cos (3 y) (3 y')$ um.

$3 \cos (3 y) y'$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 \cos (3 y) y' = 1$

Schritt 1.5

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (3 y) y' = 1$ durch $3 \cos (3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (3 y) y' = 1$ durch $3 \cos (3 y)$ .

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Schritt 1.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (3 y)$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Schritt 1.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 y)}$

Schritt 1.5.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (3 y)}$ nach $\sec (3 y)$ um.

$y' = \frac{1}{3} \sec (3 y)$

Schritt 1.5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 0$ und $y = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$\frac{\sec (3 y)}{3}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\sec (3 (\frac{π}{3}))}{3}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (3 \frac{π}{3})}{3}$

Schritt 1.7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sec (π)}{3}$

Schritt 1.7.3.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{- \sec (0)}{3}$

Schritt 1.7.3.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Schritt 1.7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Schritt 1.7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(0, \frac{π}{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot x$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{x}{3}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{3} x) + \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{π}{3}$

Schritt 3