Analysis Beispiele

$\frac{4 x - 5}{x + 1}$ $x = 0$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4 x - 5}{x + 1}$ als Gleichung.

$y = \frac{4 x - 5}{x + 1}$

Schritt 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze $0$ für $x$ ein.

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4 (0) - 5}{0 + 1}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = \frac{0 - 5}{0 + 1}$

Schritt 2.2.3.1.2

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$y = \frac{- 5}{0 + 1}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$y = \frac{- 5}{1}$

Schritt 2.2.3.2.2

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$y = - 5$

Schritt 3

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = - 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x - 5$ und $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 5] - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 1) (4 + 0) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 4 - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x + 1) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x + 4 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x + 4 - 4 x + 5$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{0 + 4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Addiere $4$ und $5$ .

$\frac{9}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$\frac{9}{{((0) + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{9}{1^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{9}{1}$

Schritt 3.5.2

Dividiere $9$ durch $1$ .

$9$

Schritt 4

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 4.1

Benutze die Steigung $9$ und einen gegebenen Punkt $(0, - 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 5) = 9 \cdot (x - (0))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 5 = 9 \cdot (x + 0)$

Schritt 4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y + 5 = 9 x$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9 x - 5$

Schritt 5