Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 0$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Schritt 3

Berechne $f (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Schritt 3.2.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1 + \sin (0)$

Schritt 3.2.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.13

Mutltipliziere $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.14

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Schritt 4.3.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Schritt 4.3.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 2}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3}{2}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Subtrahiere $0$ von $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Schritt 7