Analysis Beispiele

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{3}$ , $f (9) = 4$

Schritt 1

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{3}$ , was bedeutet, dass $(\frac{1}{2}, - \frac{5}{3})$ ein Punkt auf der Geraden ist. $f (9) = 4$ , was bedeutet, dass $(9, 4)$ ebenfalls ein Punkt auf der Geraden ist.

$(\frac{1}{2}, - \frac{5}{3}), (9, 4)$

Schritt 2

Ermittle die Steigung der Geraden zwischen $(\frac{1}{2}, - \frac{5}{3})$ und $(9, 4)$ unter Anwendung von $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , was die Änderung von $y$ über der Änderung von $x$ darstellt.

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Schritt 2.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 2.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 2.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{4 - (- \frac{5}{3})}{9 - (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $\frac{4 - - \frac{5}{3}}{9 - \frac{1}{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$m = \frac{2}{2} \cdot \frac{4 + \frac{5}{3}}{9 - \frac{1}{2}}$

Schritt 2.4.1.2

Kombinieren.

$m = \frac{2 (4 + \frac{5}{3})}{2 (9 - \frac{1}{2})}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$m = \frac{2 \cdot 4 + 2 (\frac{5}{3})}{2 \cdot 9 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$m = \frac{2 \cdot 4 + 2 (\frac{5}{3})}{2 \cdot 9 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Schritt 2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{2 \cdot 4 + 2 (\frac{5}{3})}{2 \cdot 9 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Schritt 2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{2 \cdot 4 + 2 (\frac{5}{3})}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$m = \frac{8 + 2 (\frac{5}{3})}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.2

Multipliziere $- - \frac{5}{3}$ .

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Schritt 2.4.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$m = \frac{8 + 2 (1 (\frac{5}{3}))}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

$m = \frac{8 + 2 (\frac{5}{3})}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.3

Multipliziere $2 (\frac{5}{3})$ .

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Schritt 2.4.4.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{3}$ .

$m = \frac{8 + \frac{2 \cdot 5}{3}}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$m = \frac{8 + \frac{10}{3}}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.4

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$m = \frac{8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.5

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$m = \frac{\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$m = \frac{\frac{8 \cdot 3 + 10}{3}}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.7.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$m = \frac{\frac{24 + 10}{3}}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.4.7.2

Addiere $24$ und $10$ .

$m = \frac{\frac{34}{3}}{2 \cdot 9 - 1}$

Schritt 2.4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$m = \frac{\frac{34}{3}}{18 - 1}$

Schritt 2.4.5.2

Subtrahiere $1$ von $18$ .

$m = \frac{\frac{34}{3}}{17}$

Schritt 2.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$m = \frac{34}{3} \cdot \frac{1}{17}$

Schritt 2.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $17$ .

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Schritt 2.4.7.1

Faktorisiere $17$ aus $34$ heraus.

$m = \frac{17 (2)}{3} \cdot \frac{1}{17}$

Schritt 2.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{17 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{17}$

Schritt 2.4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Benutze die Steigung $\frac{2}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{1}{2}, - \frac{5}{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{5}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$y + \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{2})$

Schritt 5.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y + \frac{5}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{5}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{5}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 5.1.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + \frac{5}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $\frac{5}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x - 1 - 5}{3}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$y = \frac{2 x - 6}{3}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 6$ heraus.

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{2 (x) - 6}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{2 x + 2 \cdot - 3}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 3$ heraus.

$y = \frac{2 (x - 3)}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Gleichung in Normalform.

$y = \frac{2}{3} (x - 3)$

Schritt 7

Ersetze $y$ durch $f (x)$ .

$f (x) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Schritt 8