Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \csc (\frac{1}{4} π x + \frac{1}{3} π)$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Schritt 2

Entferne die Klammern.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Multipliziere $\frac{1}{4} (π x)$ .

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = 4 \csc (\frac{π}{4} x + \frac{1}{3} \cdot π)$

Schritt 3.1.2

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $x$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{1}{3} \cdot π)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $π$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$

Schritt 4

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ auftreten.

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{4} = - \frac{π}{3}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{3}$ in den Zähler.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{3}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Schritt 5.3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 (\frac{- 1}{3})$

Schritt 5.3.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{- 1}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{3}$

Schritt 6

Setze das Innere der Kosekansfunktion $\frac{π x}{4} + \frac{π}{3}$ gleich $2 π$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 2 π$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 7.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 7.3.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Schritt 7.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Schritt 7.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 (\frac{5}{3})$

Schritt 7.3.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{3}$

Schritt 7.3.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = \frac{20}{3}$

Schritt 8

Die fundamentale Periode für $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ tritt auf bei $(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$ , wobei $- \frac{4}{3}$ und $\frac{20}{3}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$

Schritt 9

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 9.1

$\frac{π}{4}$ ist ungefähr $0.78539816$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{π}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 4$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$

Schritt 10

Die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ treten auf bei $- \frac{4}{3}$ , $\frac{20}{3}$ und jedem $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{4}{3} + 4 n$

Schritt 11

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 12