Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe $\frac{e^{- x}}{2}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es von beiden Seiten subtrahierst.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 1.2.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$e^{x} = - e^{- x}$

Schritt 1.2.3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

Keine Lösung

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $0$ von $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Schritt 4.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Schritt 4.5

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Schritt 4.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Schritt 4.7

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.7.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.7.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.7.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Schritt 4.7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 4.7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 4.7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Schritt 4.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Schritt 4.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Schritt 4.11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Berechne $e^{x}$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Schritt 4.11.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 2$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Schritt 4.11.3

Vereinfache.

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Schritt 4.11.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Schritt 4.11.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Schritt 4.11.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 4.11.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Schritt 4.11.3.5

Um $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Schritt 4.11.3.6

Kombiniere $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Schritt 4.11.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Schritt 4.11.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Schritt 4.11.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Schritt 4.11.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Schritt 4.11.3.10

Mutltipliziere $e^{2} - 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Schritt 5

Addiere die Flächen $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Schritt 5.1.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Schritt 5.1.5

Addiere $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ und $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.6.1

Schreibe $\frac{1}{e^{2}}$ als ${(\frac{1}{e})}^{2}$ um.

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Schritt 5.1.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.7

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.9

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 5.1.9.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.9.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.9.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.9.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.10

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Schritt 5.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Schritt 5.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.12.1

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 5.1.12.1.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Schritt 5.1.12.1.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Schritt 5.1.12.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Schritt 5.1.12.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Schritt 5.1.12.2

Schreibe $e^{2} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.12.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Schritt 5.1.12.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e$ und $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{e^{2} + 1}{e}$ mit $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.5

Kombinieren.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $e^{2} + 1$ mit $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Schritt 6