Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Schritt 2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Dividiere $\sqrt{1 + 0}$ durch $1$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Schritt 3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 3.1.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 3.1.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 3.1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 3.1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Dividiere $- \sqrt{1 + 0}$ durch $1$ .

$- \sqrt{1 + 0}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- \sqrt{1}$

Schritt 3.3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 1, - 1$

Schritt 5

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 1, - 1$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 7