Analysis Beispiele

$y = x^{2} + 2$ , $[0, 1]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 1.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 1.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $i \sqrt{2}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $x^{2} + 2$ .

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + 2 x]_{0}^{1}$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ und $2 x]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{0}^{1}$

Schritt 3.6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.5

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.7.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 2 \cdot 0)$

Schritt 3.6.2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 0)$

Schritt 3.6.2.2.11

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{7}{3} - 0$

Schritt 3.6.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{7}{3} + 0$

Schritt 3.6.2.2.13

Addiere $\frac{7}{3}$ und $0$ .

$\frac{7}{3}$

Schritt 4