Analysis Beispiele

$y^{2} + 2 y = 9 x^{2} + 8$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 2 y - 9 x^{2} = 8$

Schritt 1.1.2

Bewege $2 y$ .

$y^{2} - 9 x^{2} + 2 y = 8$

Schritt 1.1.3

Stelle $y^{2}$ und $- 9 x^{2}$ um.

$- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 2 y$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y + 1)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze ${(y + 1)}^{2} - 1$ für $y^{2} + 2 y$ ein in der Gleichung $- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$ .

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 8$

Schritt 1.4

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8 + 1$

Schritt 1.5

Addiere $8$ und $1$ .

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$

Schritt 1.6

Teile jeden Term durch $9$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{9 x^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 3$

$b = 1$

$k = - 1$

$h = 0$

Schritt 4

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + {(1)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{9 + 1}$

Schritt 4.3.3

Addiere $9$ und $1$ .

$\sqrt{10}$

Schritt 5

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 5.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - 1 + \sqrt{10})$

Schritt 5.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 5.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - 1 - \sqrt{10})$

Schritt 5.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(0, - 1 + \sqrt{10}), (0, - 1 - \sqrt{10})$

Schritt 6