Analysis Beispiele

$81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 25$ , $b = - 450$ und $c = 81 x^{2} + 810 x + 2025$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Schreibe $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ als ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ um.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 450$ und $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3.4

Mutltipliziere $10$ mit $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3.5

Addiere $- 450$ und $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3.6

Addiere $90 x$ und $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.3.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.4.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.5

Subtrahiere $450$ von $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.6

Faktorisiere $90$ aus $- 90 x - 900$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $90$ aus $- 90 x$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere $90$ aus $- 900$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.6.3

Faktorisiere $90$ aus $90 (- x) + 90 (- 10)$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $8100 x (- x - 10)$ als $90^{2} (x (- x - 10))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.8.1

Schreibe $8100$ als $90^{2}$ um.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Schreibe $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ als ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ um.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 450$ und $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3.4

Mutltipliziere $10$ mit $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3.5

Addiere $- 450$ und $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3.6

Addiere $90 x$ und $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.3.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.5

Subtrahiere $450$ von $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.6

Faktorisiere $90$ aus $- 90 x - 900$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $90$ aus $- 90 x$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere $90$ aus $- 900$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.6.3

Faktorisiere $90$ aus $90 (- x) + 90 (- 10)$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $8100 x (- x - 10)$ als $90^{2} (x (- x - 10))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.8.1

Schreibe $8100$ als $90^{2}$ um.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $9$ aus $45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$y = \frac{9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Schritt 1.4.5.2

Faktorisiere $9$ aus $9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ heraus.

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Schreibe $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ als ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ um.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 450$ und $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3.4

Mutltipliziere $10$ mit $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3.5

Addiere $- 450$ und $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3.6

Addiere $90 x$ und $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3.7

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.3.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.5

Subtrahiere $450$ von $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.6

Faktorisiere $90$ aus $- 90 x - 900$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $90$ aus $- 90 x$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere $90$ aus $- 900$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.6.3

Faktorisiere $90$ aus $90 (- x) + 90 (- 10)$ heraus.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.7

Mutltipliziere $90$ mit $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $8100 x (- x - 10)$ als $90^{2} (x (- x - 10))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.8.1

Schreibe $8100$ als $90^{2}$ um.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Schritt 1.5.5

Faktorisiere $9$ aus $45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$y = \frac{9 (5) - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Schritt 1.5.5.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ heraus.

$y = \frac{9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Schritt 1.5.5.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})$ heraus.

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$ .

$\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [81 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81 x^{2}$ nach $x$ gleich $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$81 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $81$ .

$162 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 y^{2}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$162 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$162 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$162 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$162 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$162 x + 25 (2 y y') + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$162 x + 50 y y' + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [810 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Da $810$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $810 x$ nach $x$ gleich $810 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $810$ mit $1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 450 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Da $- 450$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 450 y$ nach $x$ gleich $- 450 \frac{d}{d x} [y]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + \frac{d}{d x} [2025]$

Schritt 3.2.6

Da $2025$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2025$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + 0$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.7.1

Addiere $162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$ und $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$

Schritt 3.2.7.2

Stelle die Terme um.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y'$

Schritt 3.3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y' = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $162 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$50 y y' + 810 - 450 y' = - 162 x$

Schritt 3.5.1.2

Subtrahiere $810$ von beiden Seiten der Gleichung.

$50 y y' - 450 y' = - 162 x - 810$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $50 y'$ aus $50 y y' - 450 y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $50 y'$ aus $50 y y'$ heraus.

$50 y' y - 450 y' = - 162 x - 810$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $50 y'$ aus $- 450 y'$ heraus.

$50 y' y + 50 y' \cdot - 9 = - 162 x - 810$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $50 y'$ aus $50 y' y + 50 y' \cdot - 9$ heraus.

$50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ durch $50 (y - 9)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ durch $50 (y - 9)$ .

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $50$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 162$ und $50$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 162 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $50 (y - 9)$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 810$ und $50$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $10$ aus $- 810$ heraus.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{50 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $50 (y - 9)$ heraus.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{10 (5 (y - 9))}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 \cdot - 81}{10 (5 (y - 9))}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 81}{5 (y - 9)}$

Schritt 3.5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Addiere $\frac{81}{5 (y - 9)}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{81 x}{25 (y - 9)}}{- 1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{81 x}{25 (y - 9)}}{1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $\frac{81 x}{25 (y - 9)}$ durch $1$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$ als $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ um.

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Schritt 4.3

Multipliziere beide Seiten mit $25 (y - 9)$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9)) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Schritt 4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1

Vereinfache $\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Schritt 4.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Schritt 4.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Schritt 4.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$81 x = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache $- \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 (y - 9)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ in den Zähler.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Faktorisiere $5 (y - 9)$ aus $25 (y - 9)$ heraus.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) (5))$

Schritt 4.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) \cdot 5)$

Schritt 4.4.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$81 x = - 81 \cdot 5$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 81$ mit $5$ .

$81 x = - 405$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $81 x = - 405$ durch $81$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $81 x = - 405$ durch $81$ .

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Schritt 4.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 405}{81}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.1

Dividiere $- 405$ durch $81$ .

$x = - 5$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{25})}{5}$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{5^{2}})}{5}$

Schritt 5.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + 5)}{5}$

Schritt 5.2.1.6

Addiere $5$ und $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 10}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$f (- 5) = \frac{90}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $90$ durch $5$ .

$f (- 5) = 18$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $18$ .

$18$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{25})}{5}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{5^{2}})}{5}$

Schritt 6.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 1 \cdot 5)}{5}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 5)}{5}$

Schritt 6.2.1.7

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 0}{5}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$f (- 5) = \frac{0}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $0$ durch $5$ .

$f (- 5) = 0$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = 18, y = 0$

$y = 18, y = 0$

Schritt 8