Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 4$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = x^{2} - 2 x - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x - 4$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} - 2 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.4

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.4.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.4.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5

Schreibe $- 4 (x - 4) (x + 2)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))$ um.

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Schritt 1.4.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.5.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x - 4$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} - 2 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.4

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.5.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5

Schreibe $- 4 (x - 4) (x + 2)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))$ um.

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Schritt 1.5.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.5.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ heraus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $x^{2} - 2 x - 4$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.3

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} - 2 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.4

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.6.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.6.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5

Schreibe $- 4 (x - 4) (x + 2)$ als $2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))$ um.

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Schritt 1.6.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.5.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 1.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)} \to f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)} \to f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 4$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Differenziere.

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Schritt 3.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Schritt 3.2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y' - 2 - 4 y'$

Schritt 3.2.5

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x - 2 - 4 y'$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x - 2 - 4 y' = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 2 - 4 y' = - 2 x$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 4 y' = - 2 x + 2$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y' - 4 y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$2 y' y - 4 y' = - 2 x + 2$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = - 2 x + 2$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ heraus.

$2 y' (y - 2) = - 2 x + 2$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 2) = - 2 x + 2$ durch $2 (y - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (y - 2) = - 2 x + 2$ durch $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x}{y - 2} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x}{y - 2} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x}{y - 2} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Schritt 3.5.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x}{y - 2} + \frac{1}{y - 2}$

Schritt 3.5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x + 1}{y - 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- (x) + 1}{y - 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y - 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{- (x - 1)}{y - 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y - 2}$

Schritt 3.5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x - 1}{y - 2}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y - 2}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x - 1}{y - 2} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$ at $x = 1$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 ((1) - 4) ((1) + 2)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot (- 3 (1 + 2))}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{3 (1 + 2)}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{3 \cdot 3}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{9}$

Schritt 5.2.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (1) = 2 + \sqrt{3^{2}}$

Schritt 5.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (1) = 2 + 3$

Schritt 5.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$f (1) = 5$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$ at $x = 1$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 ((1) - 4) ((1) + 2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot (- 3 (1 + 2))}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{3 (1 + 2)}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{3 \cdot 3}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{9}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (1) = 2 - \sqrt{3^{2}}$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 3$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (1) = 2 - 3$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = 5, y = - 1$

$y = 5, y = - 1$

Schritt 8