Analysis Beispiele

$y = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2 \sin (x)$ aus $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.3

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.3.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.3.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.3.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.3.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.4

Setze $- \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $- \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $- \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Schritt 3.4.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- 1)$

Schritt 3.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 3.4.2.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 3.4.2.6

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 3.4.2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ bei $x = π$ .

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Schritt 4.1

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Schritt 4.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (π) = - 2 + \cos^{2} (π)$

Schritt 4.2.1.4

$f (π) = - 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Schritt 4.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Schritt 4.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (π) = - 2 + 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f (π) = - 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ ist $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Schritt 6