Analysis Beispiele

$y = - 8 x + e^{x}$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = - 8 x + e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 8 x + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 8 + e^{x}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 8 + e^{x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 8$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (8)$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = - 8 x + e^{x}$ bei $x = \ln (8)$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (8)$ .

$f (\ln (8)) = - 8 \ln (8) + e^{\ln (8)}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache $- 8 \ln (8)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (8)) = - \ln (8^{8}) + e^{\ln (8)}$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $8$ mit $8$ .

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + e^{\ln (8)}$

Schritt 4.2.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + 8$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \ln (16777216) + 8$ .

$- \ln (16777216) + 8$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = - 8 x + e^{x}$ ist $y = - \ln (16777216) + 8$ .

$y = - \ln (16777216) + 8$

Schritt 6