Analysis Beispiele

$y = x - 2 \cos (x)$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x - 2 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$1 - 2 (- \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$1 + 2 \sin (x)$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 + 2 \sin (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) = - 1$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (x) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 3.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 3.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Schritt 3.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.8.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 3.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Schritt 3.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Schritt 3.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 3.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x - 2 \cos (x)$ bei $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7 π}{6}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = (\frac{7 π}{6}) - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Schritt 4.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Schritt 4.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{6} + \sqrt{3}$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{7 π}{6} + \sqrt{3}$ .

$\frac{7 π}{6} + \sqrt{3}$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x - 2 \cos (x)$ bei $x = \frac{11 π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = (\frac{11 π}{6}) - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Schritt 5.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 π}{6} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 π}{6} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 5.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 π}{6} - \sqrt{3}$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{11 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$\frac{11 π}{6} - \sqrt{3}$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x - 2 \cos (x)$ sind $y = \frac{7 π}{6} + \sqrt{3}, y = \frac{11 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{7 π}{6} + \sqrt{3}, y = \frac{11 π}{6} - \sqrt{3}$

Schritt 7