Analysis Beispiele

$y = | x^{2} - 16 |$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Schritt 2.2.3

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Schritt 2.2.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Schritt 2.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Schritt 2.2.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ und $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 32 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 32 x$ heraus.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Schritt 3.2.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ heraus.

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Schritt 3.2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 3.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 4, 4$

Schritt 3.3

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = | x^{2} - 16 |$ bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = | {(0)}^{2} - 16 |$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = | 0 - 16 |$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$f (0) = | - 16 |$

Schritt 4.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 16$ und $0$ ist $16$ .

$f (0) = 16$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 5

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = | x^{2} - 16 |$ ist $y = 16$ .

$y = 16$

Schritt 6