Analysis Beispiele

$4 x + 5 y^{2} - y = 3$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + 5 y^{2} - y - 3 = 0$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 1$ und $c = 4 x - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (4 x - 3))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.1.6

Addiere $1$ und $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.1.6

Addiere $1$ und $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.6.1.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.6.1.6

Addiere $1$ und $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Schritt 1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x + 5 y^{2} - y = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x + 5 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5 y^{2} - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 + 10 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 3.2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 + 10 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 + 10 y y' - y'$

Schritt 3.2.5

Stelle die Terme um.

$10 y y' + 4 - y'$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$10 y y' + 4 - y' = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y y' - y' = - 4$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $10 y y' - y'$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $10 y y'$ heraus.

$y' (10 y) - y' = - 4$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = - 4$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (10 y - 1) = - 4$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (10 y - 1) = - 4$ durch $10 y - 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (10 y - 1) = - 4$ durch $10 y - 1$ .

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 y - 1$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4}{10 y - 1}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{10 y - 1}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 4.2

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 5

Das Gleichsetzen der Ableitung mit $0$ , $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ , ergibt keine Lösungen, folglich gibt es keine horizontalen Tangenten.

Keine horizontalen Tangenten gefunden

Schritt 6