Analysis Beispiele

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (π x + y)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x + y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x + y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $π x + y$ .

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Schritt 1.3.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.3.3.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Vereinfache $3 \cos (π x + y) (π + y')$ .

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Schritt 1.5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

Schritt 1.5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ um.

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3 y' \cos (π x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y' \cos (π x + y)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ heraus.

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ durch $1 - 3 \cos (π x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ durch $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 0$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Schritt 1.7.3

Entferne die Klammern.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Schritt 1.7.4.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Schritt 1.7.4.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Schritt 1.7.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Schritt 1.7.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Schritt 1.7.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

Schritt 1.7.5.3

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

Schritt 1.7.5.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 1.7.5.5

Multipliziere $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.7.5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.5.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

Schritt 1.7.5.6

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Schritt 1.7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 π}{4}$

Schritt 2

Die Normalenlinie steht senkrecht zur Tangentenlinie. Nehme den negativen Kehrwert der Steigung der Tangentenlinie, um die Steigung der Normalen zu finden.

$\frac{4}{3 π}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{4}{3 π}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.2

Kombiniere $\frac{4}{3 π}$ und $x$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere $\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Kombiniere $\frac{4}{3 π}$ und $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

Schritt 3.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

Schritt 4