Analysis Beispiele

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = \frac{7 π}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x y + π \sin (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x y$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π \sin (y)$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Schritt 1.2.4.2

Stelle die Terme um.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Schritt 1.3

Da $83 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $83 π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Stelle die Faktoren in $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ um.

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $6 x y' + π y' \cos (y)$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $6 x y'$ heraus.

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $π y' \cos (y)$ heraus.

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ heraus.

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ durch $6 x + π \cos (y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ durch $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 x + π \cos (y)$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 4$ und $y = \frac{7 π}{2}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Schritt 1.7.3

Kombiniere $6$ und $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Schritt 1.7.4.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Schritt 1.7.4.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Schritt 1.7.4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

Schritt 1.7.4.5

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

Schritt 1.7.4.6

Addiere $24$ und $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

Schritt 1.7.5

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

Schritt 1.7.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{42 π}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $42 π$ heraus.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

Schritt 1.7.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

Schritt 1.7.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

Schritt 1.7.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

Schritt 1.7.6.2

Dividiere $21 π$ durch $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

Schritt 1.7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $24$ .

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Schritt 1.7.7.1

Faktorisiere $3$ aus $21 π$ heraus.

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

Schritt 1.7.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

Schritt 1.7.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

Schritt 1.7.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7 π}{8}$

Schritt 2

Die Normalenlinie steht senkrecht zur Tangentenlinie. Nehme den negativen Kehrwert der Steigung der Tangentenlinie, um die Steigung der Normalen zu finden.

$\frac{8}{7 π}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{8}{7 π}$ und einen gegebenen Punkt $(4, \frac{7 π}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{8}{7 π}$ und $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{8}{7 π}$ und $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

Schritt 3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{7 π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Um $- \frac{32}{7 π}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Um $\frac{7 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Schritt 3.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $14 π$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{32}{7 π}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Schritt 3.3.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Schritt 3.3.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{7 π}{2}$ mit $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

Schritt 3.3.3.3.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

Schritt 3.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.5.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.3

Multipliziere $49 π π$ .

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Schritt 3.3.3.5.3.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.3.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.4

Schreibe $- 64 + 49 π^{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.3.3.5.4.1

Schreibe $49 π^{2}$ als ${(7 π)}^{2}$ um.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.4.3

Stelle $- 8^{2}$ und ${(7 π)}^{2}$ um.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

Schritt 3.3.3.5.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 7 π$ und $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Schritt 3.3.3.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Schritt 4