Analysis Beispiele

$y = \arctan (- 4 x)$ , $x = 3$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = - 4 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x$ .

$\frac{1}{1 + {(- 4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{1}{1 + {(- 4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- 4 (x)$ an.

$\frac{1}{1 + {(- 4)}^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4}{1 + 16 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4}{1 + 16 x^{2}}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung bei $x = 3$ .

$- \frac{4}{1 + 16 {(3)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{4}{1 + 16 \cdot 9}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $16$ mit $9$ .

$- \frac{4}{1 + 144}$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $144$ .

$- \frac{4}{145}$