Analysis Beispiele

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{2}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Schritt 9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 14

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{2}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 15.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 15.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 15.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0$

Schritt 15.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 15.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$