Analysis Beispiele

${(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 2$

Schritt 1

Schreibe ${(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ als Gleichung.

$y = {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 10 x - 4$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x - 4$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 7.3

Bringe ${(10 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 4]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 9

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 11

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 12

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{{(10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{5}{{(10 (2) - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{5}{{(20 - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2

Subtrahiere $4$ von $20$ .

$\frac{5}{16^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{5}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 16.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{4^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 16.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4^{1}}$

Schritt 16.6

Berechne den Exponenten.

$\frac{5}{4}$