Analysis Beispiele

$y = \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 2.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 2.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 2.1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 2.1.1.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{5 + \infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 2.1.1.2.3

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 2.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Schritt 2.1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\infty}{1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Schritt 2.1.1.3.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{1 - \infty}$

Schritt 2.1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.1.3.3.1

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\frac{\infty}{1 + - \infty}$

Schritt 2.1.1.3.3.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.1.3.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.1.3.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{- \infty}$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{\infty}{- \infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 2^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.5

Addiere $0$ und $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

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Schritt 2.1.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2^{x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - \frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Schritt 2.1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - 2^{x} \ln (2)}$

Schritt 2.1.3.9

Subtrahiere $2^{x} \ln (2)$ von $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{x}$ .

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Schritt 2.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Schritt 2.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Schritt 2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.1.4.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.2.1

Berechne den Grenzwert von $- 1 \cdot 1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 3.2

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $0$ an.

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Schritt 3.3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{5 + 0}{1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Schritt 3.4

Da der Exponent $x$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $0$ an.

$\frac{5 + 0}{1 - 0}$

Schritt 3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{5}{1 - 0}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{5}{1}$

Schritt 3.5.3

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = - 1, 5$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = - 1, 5$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7