Analysis Beispiele

$y = 5 \csc (\frac{3}{2} x + \frac{π}{2}) - 2$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$

Schritt 2

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ auftreten.

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2} = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x}{2} = - \frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$3 x = - π$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- π}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 4

Setze das Innere der Kosekansfunktion $\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}$ gleich $2 π$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2} = 2 π$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 5.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 5.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$3 x = 3 π$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 3 π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 3 π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3 π}{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3 π}{3}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 π}{3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 π}{3}$

Schritt 5.3.3.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$x = π$

Schritt 6

Die fundamentale Periode für $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ tritt auf bei $(- \frac{π}{3}, π)$ , wobei $- \frac{π}{3}$ und $π$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{π}{3}, π)$

Schritt 7

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 7.1

$\frac{3}{2}$ ist ungefähr $1.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{3}$

Schritt 7.3

Multipliziere $2 π \frac{2}{3}$ .

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 8

Die vertikalen Asymptoten für $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ treten auf bei $- \frac{π}{3}$ , $π$ und jedem $x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$

Schritt 9

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 10