Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kombiniere $\ln^{2} (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.6.1

Kombinieren.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.7.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.9

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.10.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{x}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.10.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10.4

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.10.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10.5.2

Dividiere $2 \ln (x)$ durch $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.10.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.11

Vereinfache.

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Schritt 1.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.11.2.1

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.11.2.2

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.11.2.3

Multipliziere $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.11.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.11.2.3.2

Mutltipliziere $\ln (x^{2})$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.2.11.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 7.38905639$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $7.38905639$ in $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.38905639$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

Schritt 3.1.2.2

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $7.38905639$ ist ungefähr $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

Schritt 3.1.2.3

Dividiere $7.38905639$ durch $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = 3.69452812$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $3.69452812$ .

$3.69452812$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $7.38905639$ in $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ ermittelt werden kann, ist $(7.38905639, 3.69452812)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(7.38905639, 3.69452812)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 7.38905639)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.28905639$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $7.28905639$ mit $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $7.28905639$ mit $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $7.28905639$ mit $\ln^{4} (7.28905639)$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.3

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.4

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $7.28905639$ ist ungefähr $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.5

Potenziere $1.98637409$ mit $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.6

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.7

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $7.28905639$ ist ungefähr $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.9

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.10

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $53.13034315$ ist ungefähr $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $- 1.98637409$ mit $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.12

Subtrahiere $7.89136412$ von $3.94568206$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.13

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

Schritt 5.2.14

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $53.13034315$ ist ungefähr $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

Schritt 5.2.15

Addiere $- 3.94568206$ und $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

Schritt 5.2.16

Dividiere $0.02706613$ durch $113.47899623$ .

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

Schritt 5.2.17

Die endgültige Lösung ist $0.00023851$ .

$0.00023851$

Schritt 5.3

Bei $7.28905639$ ist die zweite Ableitung $0.00023851$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 7.38905639)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 7.38905639)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(7.38905639, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7.48905639$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $7.48905639$ mit $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $7.48905639$ mit $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $7.48905639$ mit $\ln^{4} (7.48905639)$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.3

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.4

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $7.48905639$ ist ungefähr $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.5

Potenziere $2.0134428$ mit $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.6

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.7

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $7.48905639$ ist ungefähr $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.9

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.10

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $56.0859657$ ist ungefähr $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $- 2.0134428$ mit $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.12

Subtrahiere $8.10790388$ von $4.05395194$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.13

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

Schritt 6.2.14

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $56.0859657$ ist ungefähr $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

Schritt 6.2.15

Addiere $- 4.05395194$ und $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

Schritt 6.2.16

Dividiere $- 0.02706632$ durch $123.07909456$ .

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

Schritt 6.2.17

Die endgültige Lösung ist $- 0.00021991$ .

$- 0.00021991$

Schritt 6.3

Bei $7.48905639$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00021991$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(7.38905639, \infty)$

Abfallend im Intervall $(7.38905639, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(7.38905639, 3.69452812)$ .

$(7.38905639, 3.69452812)$

Schritt 8