Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.5.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.5.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.5.7

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 1.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 1.1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 1.1.7

Differenziere.

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Schritt 1.1.7.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Schritt 1.1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.7.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.8.4

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.8.4.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ heraus.

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.8.4.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ heraus.

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.4.3

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ heraus.

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.5

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.6

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.8.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.8.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.7.2

Addiere $x$ und $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.8.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.8.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.8.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.8.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.8.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.2.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.8.2.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.9

Addiere $2 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.8.10

Addiere $6 x$ und $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Schritt 1.1.8.11

Addiere $4$ und $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Schritt 1.1.8.12

Multipliziere $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.13.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.13.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.13.4.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.8.13.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.5

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.13.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.8.13.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.8

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.10

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.13.10.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.11

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.12

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.13

Mutltipliziere $5 x^{2}$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.14

Mutltipliziere $18 x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.8.13.15

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Schritt 1.1.8.14

Addiere $18 x^{3}$ und $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Schritt 1.1.8.15

Addiere $16 x^{2}$ und $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Schritt 1.1.8.16

Addiere $52 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Schritt 1.1.8.17

Addiere $32 x$ und $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 x^{3}$ nach $x$ gleich $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $57$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $57 x^{2}$ nach $x$ gleich $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

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Schritt 1.2.5.1

Da $50$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $50 x$ nach $x$ gleich $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.6.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $84 x^{2}$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $114 x$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ heraus.

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ heraus.

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Schritt 2.2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ heraus.

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Schritt 2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Schritt 2.2.2.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Mutltipliziere $42$ mit $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Addiere $- 10$ und $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.7

Mutltipliziere $57$ mit $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.8

Subtrahiere $57$ von $32$ .

$- 25 + 25$

Schritt 2.2.2.1.3.9

Addiere $- 25$ und $25$ .

$0$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Schritt 2.2.2.1.5

Dividiere $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Schritt 2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{3} + 10 x^{2}$

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Schritt 2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $32 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Schritt 2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Schritt 2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $32 x^{2} + 32 x$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Schritt 2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Schritt 2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Schritt 2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Schritt 2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Schritt 2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x + 25$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Schritt 2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Schritt 2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Schritt 2.2.2.1.6

Schreibe $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ als eine Menge von Faktoren.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Setze $10 x^{2} + 32 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $10 x^{2} + 32 x + 25$ gleich $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 10$ , $b = 32$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Schritt 2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.4.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.4.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Schritt 2.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.4.5

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Schritt 2.5.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Schritt 2.5.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.5.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Schritt 2.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.5.5

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Schritt 2.5.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Schritt 2.5.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 1$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- 1) = 0^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Schritt 3.1.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (- 1) = 0 {((- 1) + 2)}^{2}$

Schritt 3.1.2.3

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = 0 \cdot 1^{2}$

Schritt 3.1.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- 1) = 0 \cdot 1$

Schritt 3.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f (- 1) = 0$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 1.35505102$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.35505102$ .

$f (- 1.35505102) = {((- 1.35505102) + 1)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 1.35505102$ und $1$ .

$f (- 1.35505102) = {(- 0.35505102)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Potenziere $- 0.35505102$ mit $3$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $- 1.35505102$ und $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot {0.64494897}^{2}$

Schritt 3.3.2.4

Potenziere $0.64494897$ mit $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot 0.41595917$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $- 0.04475816$ mit $0.41595917$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.01861757$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 0.01861757$ .

$- 0.01861757$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1.35505102$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1.35505102, - 0.01861757)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1.35505102, - 0.01861757)$

Schritt 3.5

Ersetze $- 1.84494897$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.84494897$ .

$f (- 1.84494897) = {((- 1.84494897) + 1)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $- 1.84494897$ und $1$ .

$f (- 1.84494897) = {(- 0.84494897)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Schritt 3.5.2.2

Potenziere $- 0.84494897$ mit $3$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Schritt 3.5.2.3

Addiere $- 1.84494897$ und $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot {0.15505102}^{2}$

Schritt 3.5.2.4

Potenziere $0.15505102$ mit $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot 0.02404082$

Schritt 3.5.2.5

Mutltipliziere $- 0.60324183$ mit $0.02404082$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.01450242$

Schritt 3.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 0.01450242$ .

$- 0.01450242$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 1.84494897$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- 1.84494897, - 0.01450242)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 1.84494897, - 0.01450242)$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 1, 0), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1.84494897, - 0.01450242)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 1.84494897) \cup (- 1.84494897, - 1.35505102) \cup (- 1.35505102, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1.84494897)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 {(- 1.94494897)}^{3} + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.94494897$ mit $3$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 \cdot - 7.35740454 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 7.35740454$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 1.94494897$ mit $2$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 \cdot 3.78282651 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $3.78282651$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 - 221.72418306 + 50$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 147.1480909$ und $317.75742705$ .

$f'' (- 1.94494897) = 170.60933614 - 221.72418306 + 50$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $221.72418306$ von $170.60933614$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 51.11484692 + 50$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 51.11484692$ und $50$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 1.11484692$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.11484692$ .

$- 1.11484692$

Schritt 5.3

Bei $- 1.94494897$ , die zweite Ableitung ist $- 1.11484692$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 1.84494897)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1.84494897)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.6$ mit $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1.6$ mit $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 81.92$ und $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $182.4$ von $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 49.28$ und $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.72$ .

$0.72$

Schritt 6.3

Bei $- 1.6$ ist die zweite Ableitung $0.72$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1.35505102, - 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 {(- 1.17752551)}^{3} + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 1.17752551$ mit $3$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 \cdot - 1.63271723 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1.63271723$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 1.17752551$ mit $2$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 \cdot 1.38656633 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $1.38656633$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 - 134.23790846 + 50$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 32.65434465$ und $116.471572$ .

$f'' (- 1.17752551) = 83.81722735 - 134.23790846 + 50$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $134.23790846$ von $83.81722735$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 50.42068111 + 50$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $- 50.42068111$ und $50$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 0.42068111$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.42068111$ .

$- 0.42068111$

Schritt 7.3

Bei $- 1.17752551$ , die zweite Ableitung ist $- 0.42068111$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 1.35505102, - 1)$

Abfallend im Intervall $(- 1.35505102, - 1)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 20 {(- 0.9)}^{3} + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 0.9$ mit $3$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot - 0.729 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 0.729$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $- 0.9$ mit $2$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 \cdot 0.81 + 114 (- 0.9) + 50$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 + 114 (- 0.9) + 50$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 - 102.6 + 50$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $- 14.58$ und $68.04$ .

$f'' (- 0.9) = 53.46 - 102.6 + 50$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $102.6$ von $53.46$ .

$f'' (- 0.9) = - 49.14 + 50$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $- 49.14$ und $50$ .

$f'' (- 0.9) = 0.86$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.86$ .

$0.86$

Schritt 8.3

Bei $- 0.9$ ist die zweite Ableitung $0.86$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 1, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$ .

$(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$

Schritt 10