Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} e^{- x}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} \cdot e^{- x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \cdot - 1$

Schritt 1.1.3.4.2

Kombiniere $\frac{e^{- x}}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{3}$

Schritt 1.1.3.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{3}$

Schritt 1.1.3.4.3.2

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{- e^{- x}}{3}$

Schritt 1.1.3.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{e^{- x}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{- x}}{3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.3.3

Multipliziere.

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Schritt 1.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{e^{- x}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \cdot 1$

Schritt 1.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{e^{- x}}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{- x}}{3}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{- x}}{3}$ .

$\frac{e^{- x}}{3}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{- x}}{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{- x}}{3} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{- x} = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.3.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.3.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte