Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(4 - 2 x)}^{2}$ als $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

Schritt 1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Schritt 1.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Schritt 1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Schritt 1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - 16 x + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.6

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.5.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

Schritt 1.1.5.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

Schritt 1.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.6.4.1

Bringe $- 16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.4.2.1

Bewege $x$ .

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.6.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

Schritt 1.1.6.4.10

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

Schritt 1.1.6.4.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

Schritt 1.1.6.4.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

Schritt 1.1.6.4.13

Addiere $1$ und $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

Schritt 1.1.6.4.14

Subtrahiere $32 x^{2}$ von $- 16 x^{2}$ .

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

Schritt 1.1.6.4.15

Addiere $8 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

Schritt 1.1.6.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{3}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 48$ .

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $16$ aus $48 x^{2} - 96 x + 32$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $16$ aus $- 96 x$ heraus.

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ heraus.

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ heraus.

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ durch $16$ .

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 6 x + 2$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $16$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 6$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.3

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $1.57735026$ in $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Potenziere $1.57735026$ mit $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

Schritt 3.1.2.3

Subtrahiere $3.15470053$ von $4$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

Schritt 3.1.2.4

Potenziere $0.84529946$ mit $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

Schritt 3.1.2.5

Mutltipliziere $2.48803387$ mit $0.71453117$ .

$f (1.57735026) = 1.77777777$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $1.77777777$ .

$1.77777777$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1.57735026$ in $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(1.57735026, 1.77777777)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1.57735026, 1.77777777)$

Schritt 3.3

Ersetze $0.42264973$ in $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Potenziere $0.42264973$ mit $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $0.84529946$ von $4$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

Schritt 3.3.2.4

Potenziere $3.15470053$ mit $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $0.17863279$ mit $9.95213548$ .

$f (0.42264973) = 1.77777777$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $1.77777777$ .

$1.77777777$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.42264973$ in $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(0.42264973, 1.77777777)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.42264973, 1.77777777)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0.42264973)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $0.32264973$ mit $2$ .

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $48$ mit $0.10410284$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $30.97437415$ von $4.99693674$ .

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 25.97743741$ und $32$ .

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $6.02256258$ .

$6.02256258$

Schritt 5.3

Bei $0.32264973$ ist die zweite Ableitung $6.02256258$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0.42264973)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0.42264973)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.42264973, 1.57735026)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $48$ .

$f'' (1) = - 48 + 32$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 48$ und $32$ .

$f'' (1) = - 16$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$- 16$

Schritt 6.3

Bei $1$ , die zweite Ableitung ist $- 16$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0.42264973, 1.57735026)$

Abfallend im Intervall $(0.42264973, 1.57735026)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1.57735026, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.67735026$ mit $2$ .

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $48$ mit $2.81350392$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $161.02562584$ von $135.04818842$ .

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 25.97743741$ und $32$ .

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $6.02256258$ .

$6.02256258$

Schritt 7.3

Bei $1.67735026$ ist die zweite Ableitung $6.02256258$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1.57735026, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1.57735026, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ .

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

Schritt 9