Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 - 5 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Schritt 1.1.3.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ heraus.

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Schritt 1.1.4.1.1

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Schritt 1.1.4.1.2

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.1.3

Faktorisiere $x {(2 - 5 x)}^{2}$ aus $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ heraus.

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $- 15$ auf die linke Seite von $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe ${(2 - 5 x)}^{2}$ als $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ um.

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.4

Multipliziere $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.5.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.7.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.8.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.8.1.1

Bewege $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.8.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.8.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.8.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.4.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.8.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Schritt 1.1.4.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Schritt 1.1.4.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Schritt 1.1.4.9.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Schritt 1.1.4.10

Subtrahiere $10 x$ von $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Schritt 1.1.4.11

Multipliziere $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.6.1

Bewege $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.12.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.10

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.12.10.1

Bewege $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.4.12.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.10.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.11

Mutltipliziere $25$ mit $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Schritt 1.1.4.12.12

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Schritt 1.1.4.13

Subtrahiere $80 x^{2}$ von $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Schritt 1.1.4.14

Addiere $500 x^{3}$ und $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $- 180$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 180 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 180$ .

$- 360 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 360 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$- 360 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 625$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 625 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 625$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Schritt 1.2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.5.1

Da $600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $600 x^{3}$ nach $x$ gleich $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $600$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

Schritt 1.2.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 2500 x^{3}$ heraus.

$4 (- 625 x^{3}) + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $1800 x^{2}$ heraus.

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) - 360 x + 16 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 360 x$ heraus.

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 16 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2})$ heraus.

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x)$ heraus.

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4) = 0$

Schritt 2.2.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4)$ heraus.

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Schritt 2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08$

Schritt 2.2.2.1.3

Setze $0.4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Setze $0.4$ in das Polynom ein.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Potenziere $0.4$ mit $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 625$ mit $0.064$ .

$- 40 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Potenziere $0.4$ mit $2$ .

$- 40 + 450 \cdot 0.16 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Mutltipliziere $450$ mit $0.16$ .

$- 40 + 72 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.6

Addiere $- 40$ und $72$ .

$32 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.7

Mutltipliziere $- 90$ mit $0.4$ .

$32 - 36 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.8

Subtrahiere $36$ von $32$ .

$- 4 + 4$

Schritt 2.2.2.1.3.9

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 2.2.2.1.4

Da $0.4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $5 x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4}{5 x - 2}$

Schritt 2.2.2.1.5

Dividiere $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ durch $5 x - 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$450 x^{2}$

$90 x$

$4$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 625 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$

Schritt 2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Schritt 2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $200 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Schritt 2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					+	$200 x^{2}$	-	$80 x$

Schritt 2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $200 x^{2} - 80 x$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$

Schritt 2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$

Schritt 2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Schritt 2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Schritt 2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	+	$4$

Schritt 2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 x + 4$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$

Schritt 2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$
										$0$

Schritt 2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 125 x^{2} + 40 x - 2$

Schritt 2.2.2.1.6

Schreibe $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 2.5

Setze $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ gleich $0$ .

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = - 125$ , $b = 40$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 125 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $500$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $600$ als $10^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $600$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Schritt 2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $500$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.4.1.4

Schreibe $600$ als $10^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $600$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Schritt 2.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Schritt 2.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $500$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.5.1.4

Schreibe $600$ als $10^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $600$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Schritt 2.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Schritt 2.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{5}, \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{2}{5}$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{2} {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{2}}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 (- 1) (\frac{2}{5}))}^{3}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 \cdot (- 1 (\frac{2}{5})))}^{3}$

Schritt 3.1.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{3}$

Schritt 3.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.1.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0$

Schritt 3.1.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{4}{25}$ mit $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = 0$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{2}{5}$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{2}{5}, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{2}{5}, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $0.25797958$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = {(0.25797958)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Potenziere $0.25797958$ mit $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 1.28989794)}^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $1.28989794$ von $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot {0.71010205}^{3}$

Schritt 3.3.2.4

Potenziere $0.71010205$ mit $3$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot 0.35806535$

Schritt 3.3.2.5

Mutltipliziere $0.06655346$ mit $0.35806535$ .

$f (0.25797958) = 0.02383049$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $0.02383049$ .

$0.02383049$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.25797958$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0.25797958, 0.02383049)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.25797958, 0.02383049)$

Schritt 3.5

Ersetze $0.06202041$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = {(0.06202041)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Potenziere $0.06202041$ mit $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 0.31010205)}^{3}$

Schritt 3.5.2.3

Subtrahiere $0.31010205$ von $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot {1.68989794}^{3}$

Schritt 3.5.2.4

Potenziere $1.68989794$ mit $3$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot 4.82593464$

Schritt 3.5.2.5

Mutltipliziere $0.00384653$ mit $4.82593464$ .

$f (0.06202041) = 0.0185631$

Schritt 3.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $0.0185631$ .

$0.0185631$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.06202041$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0.06202041, 0.0185631)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.06202041, 0.0185631)$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{2}{5}, 0), (0.25797958, 0.02383049), (0.06202041, 0.0185631)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0.06202041) \cup (0.06202041, 0.25797958) \cup (0.25797958, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0.06202041)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 {(- 0.03797958)}^{3} + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.03797958$ mit $3$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 \cdot - 0.00005478 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 2500$ mit $- 0.00005478$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 0.03797958$ mit $2$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 \cdot 0.00144244 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $1800$ mit $0.00144244$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 360$ mit $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 + 13.67265229 + 16$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $0.13695907$ und $2.59640862$ .

$f'' (- 0.03797958) = 2.73336769 + 13.67265229 + 16$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $2.73336769$ und $13.67265229$ .

$f'' (- 0.03797958) = 16.40601999 + 16$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $16.40601999$ und $16$ .

$f'' (- 0.03797958) = 32.40601999$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $32.40601999$ .

$32.40601999$

Schritt 5.3

Bei $- 0.03797958$ ist die zweite Ableitung $32.40601999$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0.06202041)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0.06202041)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.06202041, 0.25797958)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 {(0.15\overline{9})}^{3} + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.15\overline{9}$ mit $3$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 \cdot 0.004096 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 2500$ mit $0.004096$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $0.15\overline{9}$ mit $2$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 \cdot 0.0256 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $1800$ mit $0.0256$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 360$ mit $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 57.6 + 16$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 10.24$ und $46.08$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = 35.84 - 57.6 + 16$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $57.6$ von $35.84$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 21.76 + 16$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 21.76$ und $16$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 5.76$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5.76$ .

$- 5.76$

Schritt 6.3

Bei $0.15\overline{9}$ , die zweite Ableitung ist $- 5.76$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0.06202041, 0.25797958)$

Abfallend im Intervall $(0.06202041, 0.25797958)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.25797958, \frac{2}{5})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 {(0.32898979)}^{3} + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $0.32898979$ mit $3$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 \cdot 0.03560797 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 2500$ mit $0.03560797$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $0.32898979$ mit $2$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 \cdot 0.10823428 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $1800$ mit $0.10823428$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 360$ mit $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 118.43632614 + 16$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 89.01993814$ und $194.82171321$ .

$f'' (0.32898979) = 105.80177507 - 118.43632614 + 16$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $118.43632614$ von $105.80177507$ .

$f'' (0.32898979) = - 12.63455107 + 16$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $- 12.63455107$ und $16$ .

$f'' (0.32898979) = 3.36544892$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $3.36544892$ .

$3.36544892$

Schritt 7.3

Bei $0.32898979$ ist die zweite Ableitung $3.36544892$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0.25797958, \frac{2}{5})$ .

Ansteigend im Intervall $(0.25797958, \frac{2}{5})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{2}{5}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 2500 {(0.5)}^{3} + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$f'' (0.5) = - 2500 \cdot 0.125 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2500$ mit $0.125$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 \cdot 0.25 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $1800$ mit $0.25$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $- 360$ mit $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 180 + 16$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Addiere $- 312.5$ und $450$ .

$f'' (0.5) = 137.5 - 180 + 16$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $180$ von $137.5$ .

$f'' (0.5) = - 42.5 + 16$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $- 42.5$ und $16$ .

$f'' (0.5) = - 26.5$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 26.5$ .

$- 26.5$

Schritt 8.3

Bei $0.5$ , die zweite Ableitung ist $- 26.5$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{2}{5}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{2}{5}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$ .

$(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$

Schritt 10