Analysis Beispiele

$f (x) = - 5 - x^{\frac{4}{5}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 - x^{\frac{4}{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{4}{5}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Schritt 1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Schritt 1.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Schritt 1.1.2.8

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$0 - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Schritt 1.1.2.9

Bringe $x^{- \frac{1}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Schritt 1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ als ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Schritt 1.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Schritt 1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Schritt 1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $x^{- \frac{6}{5}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Schritt 1.2.10

Multipliziere.

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Schritt 1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5}) \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Schritt 1.2.11

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Schritt 1.2.12

Multipliziere.

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Schritt 1.2.12.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Schritt 1.2.12.2

Bringe $x^{- \frac{6}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 2.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte