Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ ; $(- 1, - \frac{5}{3})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 1$ und $y = - \frac{5}{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{3} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{5}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{3}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 10}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.6

Kombiniere $\frac{- 10}{3}$ und $x$ .

$\frac{- 10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $- \frac{10 x}{3} + 2$ und $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = - 1$ .

$- \frac{10 (- 1)}{3} + 2$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 10}{3} + 2$

Schritt 1.6.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{10}{3} + 2$

Schritt 1.6.1.3

Multipliziere $- - \frac{10}{3}$ .

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Schritt 1.6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{10}{3}) + 2$

Schritt 1.6.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $1$ .

$\frac{10}{3} + 2$

Schritt 1.6.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 1.6.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 1.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{10 + 6}{3}$

Schritt 1.6.5.2

Addiere $10$ und $6$ .

$\frac{16}{3}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{16}{3}$ und einen gegebenen Punkt $(- 1, - \frac{5}{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- \frac{5}{3}) = \frac{16}{3} \cdot (x - (- 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{16}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} x + \frac{16}{3} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{16}{3}$ und $x$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $1$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $\frac{5}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{16 x + 16 - 5}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Subtrahiere $5$ von $16$ .

$y = \frac{16 x + 11}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Zerlege den Bruch $\frac{16 x + 11}{3}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{11}{3}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{16}{3} x + \frac{11}{3}$

Schritt 3