Analysis Beispiele

$y = 2 x \cos (x)$ , $(π, - 2 π)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = π$ und $y = - 2 π$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = π$ .

$- 2 π \sin (π) + 2 \cos (π)$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 2 π \sin (0) + 2 \cos (π)$

Schritt 1.7.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 2 π \cdot 0 + 2 \cos (π)$

Schritt 1.7.1.3

Multipliziere $- 2 π \cdot 0$ .

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Schritt 1.7.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$0 π + 2 \cos (π)$

Schritt 1.7.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$0 + 2 \cos (π)$

Schritt 1.7.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$0 + 2 (- \cos (0))$

Schritt 1.7.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.7.1.6

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.7.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Schritt 1.7.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 2$ und einen gegebenen Punkt $(π, - 2 π)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2 π) = - 2 \cdot (x - (π))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 2 \cdot (x - π)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 2 π = 0 + 0 - 2 \cdot (x - π)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 π = - 2 x - 2 (- π)$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y + 2 π = - 2 x + 2 π$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2 π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 2 x + 2 π - 2 π$

Schritt 2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x + 2 π - 2 π$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π$ .

$y = - 2 x + 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$y = - 2 x$

Schritt 3