Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{x}$ , $(9, 27)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 9$ und $y = 27$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.9

Bestimme die Ableitung bei $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 1.10.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.10.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 1.10.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.10.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Schritt 1.10.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2}$

Schritt 1.10.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{1 + 1}}{2}$

Schritt 1.10.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3^{2}}{2}$

Schritt 1.10.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{9}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(9, 27)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (27) = \frac{9}{2} \cdot (x - (9))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{9}{2} \cdot (x - 9)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 27 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 27 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{9}{2} \cdot - 9$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 9}{2}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81}{2}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 27 = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27$

Schritt 2.3.2.2

Um $27$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $27$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 27 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 54}{2}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 81$ und $54$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{2}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{27}{2}$

Schritt 3