Analysis Beispiele

$y = 7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{2}$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Schritt 1.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \csc (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$0 - \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere $\csc^{2} (x)$ von $0$ .

$- \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Schritt 1.4.2

Stelle die Terme um.

$2 \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)$

Schritt 1.5

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{2}$ .

$2 \cot (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 1.6.1.3

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 1.6.1.5

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 - 1^{2}$

Schritt 1.6.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.6.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{2}, 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $- 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = - 1 x - 1 (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y - 5 = - x - 1 (- \frac{π}{2})$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 5 = - x + 1 \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$y - 5 = - x + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - x + \frac{π}{2} + 5$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - x + \frac{π + 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = - x + \frac{π + 10}{2}$

Schritt 3