Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 7}$ ; $(2, \frac{4}{9})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{4}{9}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 7$ .

$\frac{2 \cdot (x + 7) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 14 x$ heraus.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $14 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 14$ heraus.

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$\frac{(2) ((2) + 14)}{{((2) + 7)}^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2$ und $14$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(2 + 7)}^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.2.1

Addiere $2$ und $7$ .

$\frac{2 \cdot 16}{9^{2}}$

Schritt 1.5.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{81}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{32}{81}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{32}{81}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{4}{9})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{4}{9}) = \frac{32}{81} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{32}{81} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 + \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} x + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{32}{81}$ und $x$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{32}{81} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{32}{81}$ und $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32 \cdot - 2}{81}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $32$ mit $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64}{81}$

Schritt 2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{4}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9}$

Schritt 2.3.2.2

Um $\frac{4}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $81$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{81}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 4 \cdot 9}{81}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 36}{81}$

Schritt 2.3.2.5.2

Addiere $- 64$ und $36$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 28}{81}$

Schritt 2.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{28}{81}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{32}{81} x - \frac{28}{81}$

Schritt 3