Analysis Beispiele

$y = 3 \sin (π x - y)$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x - y))$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (π x - y)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x - y)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x - y$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x - y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x - y])$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $π x - y$ .

$3 (\cos (π x - y) \frac{d}{d x} [π x - y])$

Schritt 1.3.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$3 \cos (π x - y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 1.3.3.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x - y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cos (π x - y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$3 \cos (π x - y) (π + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 1.3.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x - y) (π - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 \cos (π x - y) (π - y')$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 \cos (π x - y) (π - y')$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Vereinfache $3 \cos (π x - y) (π - y')$ .

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Schritt 1.5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 3 \cos (π x - y) π + 3 \cos (π x - y) (- y')$

Schritt 1.5.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y' = 3 \cos (π x - y) π - 3 \cos (π x - y) y'$

Schritt 1.5.1.1.2.2

Stelle die Faktoren in $3 \cos (π x - y) π - 3 \cos (π x - y) y'$ um.

$y' = 3 π \cos (π x - y) - 3 y' \cos (π x - y)$

Schritt 1.5.2

Addiere $3 y' \cos (π x - y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' + 3 y' \cos (π x - y) = 3 π \cos (π x - y)$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' + 3 y' \cos (π x - y)$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 + 3 y' \cos (π x - y) = 3 π \cos (π x - y)$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y' \cos (π x - y)$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (3 \cos (π x - y))$ heraus.

$y' (1 + 3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$

Schritt 1.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + 3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$ durch $1 + 3 \cos (π x - y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 + 3 \cos (π x - y)) = 3 π \cos (π x - y)$ durch $1 + 3 \cos (π x - y)$ .

$\frac{y' (1 + 3 \cos (π x - y))}{1 + 3 \cos (π x - y)} = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 3 \cos (π x - y)$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 + 3 \cos (π x - y))}{1 + 3 \cos (π x - y)} = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x - y)}{1 + 3 \cos (π x - y)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 1$ und $y = 0$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$\frac{3 π \cos (π (1) - y)}{1 + 3 \cos (π (1) - y)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $0$ .

$\frac{3 π \cos (π (1) - (0))}{1 + 3 \cos (π (1) - (0))}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.7.3.1.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{3 π \cos (π - (0))}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Schritt 1.7.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Schritt 1.7.3.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Schritt 1.7.3.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Schritt 1.7.3.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Schritt 1.7.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Schritt 1.7.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cos (π \cdot 1 - (0))}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.4.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cos (π - (0))}$

Schritt 1.7.4.2

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cos (π)}$

Schritt 1.7.4.3

$\frac{- 3 π}{1 + 3 (- \cos (0))}$

Schritt 1.7.4.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 1.7.4.5

Multipliziere $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.7.4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3 \cdot - 1}$

Schritt 1.7.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3}$

Schritt 1.7.4.6

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 3 π}{- 2}$

Schritt 1.7.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{3 π}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = \frac{3 π}{2} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = \frac{3 π}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = \frac{3 π}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\frac{3 π}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 π}{2} x + \frac{3 π}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{3 π}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 π x}{2} + \frac{3 π}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.3

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Kombiniere $\frac{3 π}{2}$ und $- 1$ .

$y = \frac{3 π x}{2} + \frac{3 π \cdot - 1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{3 π x}{2} + \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 π x}{2} - \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3 π}{2} x - \frac{3 π}{2}$

Schritt 3