Analysis Beispiele

$y^{4} - 4 y^{2} = x^{4} - 9 x^{2}$ , $(- 3, - 2)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 3$ und $y = - 2$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{4} - 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 9 x^{2})$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{4} - 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 y^{3} y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$4 y^{3} y' - 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 1.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 y^{3} y' - 4 (2 y y')$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$4 y^{3} y' - 8 y y'$

Schritt 1.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Differenziere.

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Schritt 1.3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 (2 x)$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$4 x^{3} - 18 x$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 y^{3} y' - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y^{3} y' - 8 y y'$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y^{3} y'$ heraus.

$4 y y' y^{2} - 8 y y' = 4 x^{3} - 18 x$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $4 y y'$ aus $- 8 y y'$ heraus.

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2 = 4 x^{3} - 18 x$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $4 y y'$ aus $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot - 2$ heraus.

$4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ durch $4 y (y^{2} - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' (y^{2} - 2) = 4 x^{3} - 18 x$ durch $4 y (y^{2} - 2)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y' (y^{2} - 2)}{4 y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (y^{2} - 2)}{y (y^{2} - 2)} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 2$ .

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Schritt 1.5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y^{2} - 2)}{y^{2} - 2} = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 x^{3}}{4 y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 18 x}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $4$ .

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Schritt 1.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x$ heraus.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{4 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y (y^{2} - 2)$ heraus.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{2 (- 9 x)}{2 (2 y (y^{2} - 2))}$

Schritt 1.5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} + \frac{- 9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 x}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = - 3$ und $y = - 2$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$\frac{{(- 3)}^{3}}{y (y^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 y (y^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $- 2$ .

$\frac{{(- 3)}^{3}}{(- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.3.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{- 27}{- 2 ({(- 2)}^{2} - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 27}{- 2 (4 - 2)} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{- 27}{- 2 \cdot 2} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 27}{- 4} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{27}{4} - \frac{9 (- 3)}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 4 ({(- 2)}^{2} - 2)}$

Schritt 1.7.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.7.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 4 (4 - 2)}$

Schritt 1.7.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 4 \cdot 2}$

Schritt 1.7.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} - \frac{- 27}{- 8}$

Schritt 1.7.3.9

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{8}$

Schritt 1.7.4

Um $\frac{27}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{8}$

Schritt 1.7.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $\frac{27}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{27}{8}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{27 \cdot 2}{8} - \frac{27}{8}$

Schritt 1.7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27 \cdot 2 - 27}{8}$

Schritt 1.7.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.7.1

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$\frac{54 - 27}{8}$

Schritt 1.7.7.2

Subtrahiere $27$ von $54$ .

$\frac{27}{8}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{27}{8}$ und einen gegebenen Punkt $(- 3, - 2)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (- 2) = \frac{27}{8} \cdot (x - (- 3))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 2 = \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{27}{8} \cdot (x + 3)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y + 2 = \frac{27}{8} \cdot (x + 3)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 2 = \frac{27}{8} x + \frac{27}{8} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{27}{8}$ und $x$ .

$y + 2 = \frac{27 x}{8} + \frac{27}{8} \cdot 3$

Schritt 2.3.1.5

Multipliziere $\frac{27}{8} \cdot 3$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{27}{8}$ und $3$ .

$y + 2 = \frac{27 x}{8} + \frac{27 \cdot 3}{8}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$y + 2 = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8} - 2$

Schritt 2.3.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81 - 2 \cdot 8}{8}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{81 - 16}{8}$

Schritt 2.3.2.5.2

Subtrahiere $16$ von $81$ .

$y = \frac{27 x}{8} + \frac{65}{8}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{27}{8} x + \frac{65}{8}$

Schritt 3