Analysis Beispiele

$y = arcsec (6 x)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ und $y = \frac{π}{4}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $arcsec (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Wende die Produktregel auf $6 (x)$ an.

$\frac{1}{6 x \sqrt{6^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.2.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{6}) \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{6}$ und $\sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}{6}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{6}$ an.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{1}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (2 - 1)}}{6}}$

Schritt 1.4.2.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 \cdot 1}}{6}}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{6}}$

Schritt 1.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{6}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.6

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.4.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.4.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.4.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 1.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 1.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 1.4.8.2.4

Dividiere $3 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$3 \sqrt{2}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze die Steigung $3 \sqrt{2}$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{\sqrt{2}}{6}))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache $3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{6})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ in den Zähler.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Schritt 2.3.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2}$ heraus.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Schritt 2.3.1.4.3

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{3 (2)}$

Schritt 2.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.1.5

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 2.3.1.6

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Schritt 2.3.1.7

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Schritt 2.3.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 2.3.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 2.3.1.10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.10.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.10.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 2.3.1.10.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.3.1.10.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 2.3.1.10.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.10.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 2.3.1.10.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{1}}{2}$

Schritt 2.3.1.10.1.5

Berechne den Exponenten.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.3.1.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.1.10.3

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x - 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{π}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 + \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 2.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 4 + π}{4}$

Schritt 2.3.3.5

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) + π}{4}$

Schritt 2.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $π$ heraus.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) - 1 (- π)}{4}$

Schritt 2.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - 1 (- π)$ heraus.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4 - π)}{4}$

Schritt 2.3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 3 \sqrt{2} x - \frac{4 - π}{4}$

Schritt 3