Analysis Beispiele

$y = - \frac{1}{x^{3}}$ , $(- 2, \frac{1}{8})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = - 2$ und $y = \frac{1}{8}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{3}}$ mit $0$ .

$3 x^{- 4} + 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $3 x^{- 4}$ und $0$ .

$3 x^{- 4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{x^{4}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = - 2$ .

$\frac{3}{{(- 2)}^{4}}$

Schritt 1.5

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{3}{16}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{3}{16}$ und einen gegebenen Punkt $(- 2, \frac{1}{8})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{1}{8}) = \frac{3}{16} \cdot (x - (- 2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3}{16} \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{3}{16} \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{1}{8} = 0 + 0 + \frac{3}{16} \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3}{16} \cdot (x + 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3}{16} x + \frac{3}{16} \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Kombiniere $\frac{3}{16}$ und $x$ .

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{16} \cdot 2$

Schritt 2.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{2 (8)} \cdot 2$

Schritt 2.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{2 \cdot 8} \cdot 2$

Schritt 2.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{1}{8} = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{8}$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $\frac{1}{8}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{3 + 1}{8}$

Schritt 2.3.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4}{8}$

Schritt 2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 2.3.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4 (1)}{8}$

Schritt 2.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{16} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3}{16} x + \frac{1}{2}$

Schritt 3