Analysis Beispiele

$y = {(3 x - 1)}^{- 6}$ , $(0, 1)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 0$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 6}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 6$ .

$- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + 0)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \cdot 3$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$- 18 {(3 x - 1)}^{- 7}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 0$ .

$- \frac{18}{{(3 (0) - 1)}^{7}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$- \frac{18}{{(0 - 1)}^{7}}$

Schritt 1.5.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{18}{{(- 1)}^{7}}$

Schritt 1.5.1.3

Potenziere $- 1$ mit $7$ .

$- \frac{18}{- 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.2.1

Dividiere $18$ durch $- 1$ .

$- - 18$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$18$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $18$ und einen gegebenen Punkt $(0, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = 18 \cdot (x - (0))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = 18 \cdot (x + 0)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$y - 1 = 18 x$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 18 x + 1$

Schritt 3