Analysis Beispiele

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{π}{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Schritt 1.2.5.2

Stelle die Terme um.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Schritt 1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 1.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Schritt 1.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ um.

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $\cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Schritt 1.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ durch $- x \sin (y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ durch $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 1.5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 1.5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 1.5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Schritt 1.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Schritt 1.5.3.3.2

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Schritt 1.5.3.3.3

Wandle von $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ nach $\cot (y)$ um.

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Schritt 1.5.3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Schritt 1.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

Schritt 1.7

Berechne bei $x = 2$ und $y = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 1.7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$\frac{\cot (y)}{2}$

Schritt 1.7.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $y$ durch $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

Schritt 1.7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

Schritt 1.7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.7.5

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.7.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{\sqrt{3}}{6}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{π}{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{6}$ und $x$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.2.4

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $- 1$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{π}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 2.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3}$ heraus.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

Schritt 2.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $π$ heraus.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

Schritt 2.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ heraus.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

Schritt 2.3.3.5

Schreibe $- (\sqrt{3} - π)$ als $- 1 (\sqrt{3} - π)$ um.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

Schritt 2.3.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Schritt 2.3.3.7

Stelle die Terme um.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Schritt 3