Analysis Beispiele

$f (x) = {(x - 7)}^{2}$ , $[6, 9]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[6, 9]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{6}^{9} {(x - 7)}^{2} d x)$

Schritt 5

Sei $u = x - 7$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 5.1.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 7$ ein.

$u_{lower} = 6 - 7$

Schritt 5.3

Subtrahiere $7$ von $6$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 7$ ein.

$u_{upper} = 9 - 7$

Schritt 5.5

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $2$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Schritt 7.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8 + 1}{3})$

Schritt 7.2.7

Addiere $8$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{9}{3})$

Schritt 7.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 7.2.8.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

Schritt 7.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

Schritt 7.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

Schritt 7.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3}{1})$

Schritt 7.2.8.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (3)$

Schritt 8

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1$

Schritt 10