Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 - \sin (0))$

Schritt 6.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 - 0)$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 + 0)$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1)$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot 1$

Schritt 7.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot 1$

Schritt 8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot 1$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot 1$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π}$

Schritt 11