Analysis Beispiele

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

Schritt 5

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 5.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (0)$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 5.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $e^{u}$ bei $1$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Schritt 7.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Schritt 8.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Schritt 9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{2}{π}$ und $e$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Schritt 13

Multipliziere $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{2}{π}$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Schritt 14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Schritt 15