Analysis Beispiele

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 e^{x} d x)$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 \int_{- 2}^{2} e^{x} d x)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{x}]_{- 2}^{2}))$

Schritt 7

Berechne $e^{x}$ bei $2$ und $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - e^{- 2}))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - \frac{1}{e^{2}}))$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + 4 (- \frac{1}{e^{2}}))$

Schritt 8.3

Multipliziere $4 (- \frac{1}{e^{2}})$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - 4 \frac{1}{e^{2}})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + \frac{- 4}{e^{2}})$

Schritt 8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Schritt 9

Addiere $2$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{2}$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (e^{2})) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{e^{2}}$ in den Zähler.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{e^{2}}$

Schritt 12.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{e^{2}}$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{e^{2}}$

Schritt 12.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = e^{2} + \frac{- 1}{e^{2}}$

Schritt 13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 14