Analysis Beispiele

$- 10 \cos (- 2 t + 7)$

Schritt 1

Schreibe $- 10 \cos (- 2 t + 7)$ als Funktion.

$f (t) = - 10 \cos (- 2 t + 7)$

Schritt 2

Die Funktion $F (t)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (t)$ ermittelt wird.

$F (t) = \int f (t) d t$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (t) = \int - 10 \cos (- 2 t + 7) d t$

Schritt 4

Da $- 10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 10$ aus dem Integral.

$- 10 \int \cos (- 2 t + 7) d t$

Schritt 5

Sei $u = - 2 t + 7$ . Dann ist $d u = - 2 d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 2 t + 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 2 t + 7$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 t + 7]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 t + 7$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [7]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d t} [7]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$- 2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 10 \int \cos (u) \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 10 \int \cos (u) (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 10 \int - \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 10 (- \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$10 \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$10 (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $10$ .

$\frac{10}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2} \int \cos (u) d u$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int \cos (u) d u$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{1} \int \cos (u) d u$

Schritt 10.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 \int \cos (u) d u$

Schritt 11

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$5 (\sin (u) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$5 \sin (u) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- 2 t + 7$ .

$5 \sin (- 2 t + 7) + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (t) = - 10 \cos (- 2 t + 7)$ .

$F (t) =$ $5 \sin (- 2 t + 7) + C$